Question

当x∈[-2，1]时，不等式mx³≥x²-4x-3恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[-6，-

  9

  8

  ]
• B、[-6，-2]
• C、[-5，-3]
• D、[-4，-3]

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：通过x=0时，判断不等式是否成立求出m的范围，0＜x≤1时，转化mx³-x²+4x+3≥0，m≥

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，构造函数f（x）=

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，利用导数求解函数的最值，f（x）_max，通过-2≤x＜0时求出函数f（x）_min，得到m的范围，得到选项．

解答： 解：当x=0时，不等式mx³-x²+4x+3≥0对任意m∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax³-x²+4x+3≥0可化为m≥

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
令f（x）=

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，则f′（x）=-

1

x2

+

8

x3

+

9

x4

=-

(x-9)(x+1)

x4

（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）_max=f（1）=-6，∴m≥-6；
当-2≤x＜0时，mx³-x²+4x+3≥0可化为m≤

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
由（*）式可知，当-2≤x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）_min=f（-1）=-2，∴m≤-2；
综上所述，实数m的取值范围是-6≤m≤-2，即实数m的取值范围是[-6，-2]．
故选：B．

点评：本题考查分类讨论思想的应用，函数的导数以及函数闭区间上的最值，构造法以及恒成立问题的应用，难度比较大．