Question

14．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=$\frac{3π}{4}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，D为BC边中点，AD=1．
（Ⅰ）求$\frac{b}{c}$的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由题意可直接求出cosB，sinA，cosA值，sinC=sin（A+B）求出sinC值，利用正弦定理$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}$即可；
（II）因为D为BC中点，所以有$2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，结合余弦定理可求出三角形的面积．

解答 解：（I）在△ABC中∵$sinB=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$A=\frac{3}{4}π$；
∴$cosB=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，cosA=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
$sinC=sin（{A+B}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}=\frac{{2\sqrt{20}}}{20}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
∴$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}×\frac{5}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

（II）∵D为BC中点，∴$2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$；
$4{\overrightarrow{AD}^2}={\overrightarrow{AB}^2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}^2}$ 即$4={c^2}+{b^2}+2bc•（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$；
化简：$4={b^2}+{c^2}-\sqrt{2}bc$    ①；
由（I）知$\frac{b}{c}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$   ②，联立①②解得b=2，$c=2\sqrt{2}$；
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=2$．

点评 本题主要考查了三角恒等变换，正弦定理、余弦定理以及向量等相关知识点，属中等题．