Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是正方形ABCD的中心，N是棱CC₁（包括端点）上的动点，现给出以下命题：
①对于任意的点N，都有MN⊥B₁D₁；
②存在点N，使得MN⊥平面A₁BD；
③存在点N，使得异面直线MN和A₁B₁所成角的余弦值是

6

3

；
④对于任意的点N，三棱锥B-MND₁的体积为定值．
其中正确命题的编号是

 

．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

考点：棱柱的结构特征,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：对于①，根据MN?平面A₁C₁CA，可以通过判断BD是否垂直于平面A₁C₁CA而得出结论．
对于②，先证AC₁⊥平面A₁BD，再将A₁C平移至MN，即可探究点N的存在性．
对于③，根据两异面直线所成角的定义，作出平面角，将此平面角放在一个三角形中，设出正方体中的相关量，解此三角形，列出余弦值的表达式，可得余弦值的范围，即可判断

6

3

是否在此范围内．
对于④，根据VB-MND1=VN-BMD1，考虑三棱锥VN-BMD1的底面积与高，即可知三棱锥B-MND₁的体积是否为定值．

解答： 解：在①中，连接A₁C₁，由正方体的几何特征知，B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥AA₁，
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，又MN?平面ACC₁A₁，∴B₁D₁⊥MN，
故①正确．
在②中，连接AC₁，由正方体的几何特征知，AC₁⊥A₁B，AC₁⊥A₁D，
∴AC₁⊥平面A₁BD．
当N是棱CC₁的中点时，MN∥AC₁，则MN∥平面A₁BD．
故②正确．
在③中，过N作CD的平行线NE，交DD₁于E，连接ME，
过M作MF⊥EN交NE于F，则∠FNM即为异面直线MN与A₁B₁所成的角．如右图所示．
由

CN=DE MD=MC ∠NCM=∠EDM

知，Rt△EDM≌Rt△NCM，
∴ME=MN，∴EF=FN．
设正方体的棱长为2，CN=x，则cos∠FNM=

FN

MN

=

1

x2+2

，
由0≤x≤2知，

6

6

≤cos∠FNM≤

2

2

，
而

6

3

∉[

6

6

，

2

2

]，故③错误．
在④中，考虑△D₁BM，以BM为底，DD₁为高，可知S△MBD1是定值．
又CC₁∥平面BB₁D₁D，∴N到平面BB₁D₁D的距离等于CC₁到平面BB₁D₁D的距离，为定值，
∴三棱锥N-BMD₁的体积为定值，
由VB-MND1=VN-BMD1知，三棱锥B-MND₁的体积为定值，
故④正确．
综上，正确命题是①②④．
故答案为①②④．

点评：本题考查立体几何的综合应用，推理论证能力，分析问题、解决问题的能力．解题的关键在于熟练应用定义、定理及性质等．