Question

2．已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，线段MA的垂直平分线交MC于点N，设点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E方程；
（2）若经过F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：丨NC丨=r-丨NM丨，丨NC丨+丨NM丨=r=2$\sqrt{2}$＞丨AC丨，点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，2a=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，c=1，椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：设直线GH的方程为：y=kx+2，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4k}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，由$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$，求得x₁=$\frac{3}{5}$x₂，代入即可求得k²=2＞$\frac{3}{2}$，即可求得直线方程，当直线GH斜率不存在时，不符合题意．

解答 解：（1）设点N的坐标为（x，y），
NP是线段AM的垂直平分线，
又点N在CM上，圆C：（x+1）²+y²=8，半径是 r=2$\sqrt{2}$，
∴丨NC丨=r-丨NM丨，
∴丨NC丨+丨NM丨=r=2$\sqrt{2}$＞丨AC丨，
∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴2a=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，c=1，
由b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴曲线E方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k
则直线GH的方程为：y=kx+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（$\frac{1}{2}$+k²）x²+4kx+3=0，
由△＞0，解得：k²＞$\frac{3}{2}$，
x₁+x₂=-$\frac{4k}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，
又∵$\overrightarrow{FG}$=（x₁，y₁-2），$\overrightarrow{FH}$=（x₂，y₂-2），
∵$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$，
∴x₁=$\frac{3}{5}$x₂，
整理得：$\frac{3}{5}$•（-$\frac{5k}{1+2{k}^{2}}$）²=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$，即k²=2＞$\frac{3}{2}$，
解得：k=±$\sqrt{2}$，
∴直线l的方程为：y=±$\sqrt{2}$x+2，
当直线GH斜率不存在时，直线的l方程为x=0，
$\overrightarrow{FG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FH}$与$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$矛盾，
故直线GH斜率不存在时，直线方程不成立，
∴直线l的方程为：y=±$\sqrt{2}$x+2．

点评 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查分类讨论思想，属于中档题．