Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)．(2)．(3)．(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；

(3)求的值．

Answer 1

解：(1)f(5)＝41.

(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

…

由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

因为f(n＋1)－f(n)＝4n，

所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，

f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)

＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)

＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)

＝…

＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4

＝2n2－2n＋1.

(3)当n≥2时，

＝1＋

＝－.