Question

2．已知cos（θ+$\frac{π}{4}$）•cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，θ∈（$\frac{3π}{4}$，π），则sinθ+cosθ的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 利用两角和差的余弦公式求得cos2θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2θ的值，从而求得sinθ+cosθ=-$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$的值．

解答 解：∵已知$cos（θ+\frac{π}{4}）•cos（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}，θ∈（\frac{3π}{4}，π）$，∴（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$θ\\;-$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$θ\\;-$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=$\frac{1}{2}$cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sin2θ=-$\sqrt{{1-cos}^{2}2θ}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sinθ+cosθ=-$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=-$\sqrt{1+sin2θ}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两角和差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．