Question

如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中。

（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）经过点O的直线l与直线AB成60°角，当c＝2，a＝1时，动点P的轨迹记为E，设过点B的直线m交曲线E于M、N两点，且点M在直线AB的上方，求点M到直线l的距离d的取值范围。

Answer 1

轨迹方程为：。
（2）

（1）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（－c，0），B（c，0）
依题意：
∴点P的轨迹为以A、B为焦点，实半轴为a，虚半轴为的双曲线右支
∴轨迹方程为：。
（2）法一：设M（，），N（，）
依题意知曲线E的方程为
，l的方程为
设直线m的方程为
由方程组，消去y得
                   ①
∴
∵直线与双曲线右支交于不同的两点
∴及，从而
由①得
解得且
当x＝2时，直线m垂直于x轴，符合条件，∴
又设M到l的距离为d，则
∵
∴
设，
由于函数与均为区间的增函数
∴在单调递减
∴的最大值＝
又∵
而M的横坐标，∴
法二：为一条渐近线
①m位于时，m在无穷远，此时
②m位于时，，d较大
由
点M 
∴
故