Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=4，∠AEB=60°，点B为DE中点，连接A₁E．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁；
（2）设四棱锥A₁-AEBC与四棱锥A₁-B₁BCC₁的体积分别为V₁，V₂，求V₁：V₂的值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：

分析：（1）先证AB⊥BC，再由直三棱柱的定义证明AA₁⊥BC，从而得到直线垂直于平面，根据面与面垂直的判定定理得到结论．
（2）设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为h，由已知得S_{四边形AEBC}=

1

2

(AC+EB)×AE=

1

2

(4+2)×2=6，S四边形B1BCC1=BC•h=

4+4

•h=2

2

h，由此能求出V₁：V₂的值．

解答： （1）证明：在平行四边形ACDE中，
∵AE=2，AC=4，∠E=60°，点B为DE中点．
∴∠ABE=60°，∠CBD=30°，
从而∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又AA₁⊥面ABC，BC?面ABC
∴AA₁⊥BC，而AA₁∩AB=A，
∴⊥平面A₁ABC₁．
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）解：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为h，
由已知得S_{四边形AEBC}=

1

2

(AC+EB)×AE=

1

2

(4+2)×2=6，
∴V₁=VA1-AEBC=

1

3

×6h=2h，
S四边形B1BCC1=BC•h=

4+4

•h=2

2

h，
∴V₂=VA1-B1BCC1=

1

3

×A1B1×S四边形B1BCC1=

1

3

×

4+4

×2

2

h=

8

3

h，
∴

V1

V2

=

2h

8 3 h

=

3

4

．

点评：本题考查两平面垂直的证明，考查两几何体体积的比值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．