Question

已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若{a_n}的任一项a_n∈A∩B，且首项a₁是A∩B中最大的数，-750＜S₁₀＜-300．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|cos

nπ

2

|×2 

9-an-13n

2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：当n≥3时，T_2n＞

2n

2n+1

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由 题意可得，A∩B=B，A∩B中的最大数为-3，即a₁=-3，a_n=-3+（n-1）d，即前10项的和，由-750＜S₁₀＜-300可得-16＜d＜-6，结合B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的等差数列可知d=-6m（m∈Z，m≠0），且-16＜-6m＜-6可求m，进而可求d，根据等差数列的通项公式可求
（2）利用等比数列的求和公式可求可求T_2n，然后利用数学归纳法进行证明即可

解答： 解：（1）根据题设可得：集合A中所有的元素可以组成以-3为首项，-2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列．
由题意，有A∩B=B，A∩B中的最大数为-3，即a₁=-3，
设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=-3+（n-1）d，S10=

10(a1+a10)

2

=45-30d
∵-750＜S₁₀＜-300，
∴-750＜45d-30＜-300，即-16＜d＜-6
由于B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列
∴d=-6m（m∈Z，m≠0），由-16＜-6m＜-6⇒m=2，所以d=-12，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=9-12n（n∈N^*） 
（2）∵b_n=|cos

nπ

2

|×2 

9-an-13n

2

，
∴当n为奇数时，b_n=0，当n为奇数时，b_n=2 

9-an-13n

2

=2

-n

2

=(

2

2

)n
要证明，当n≥3时，T_2n＞

2n

2n+1

．只要证2ⁿ＞2n+1
用数学归纳法：①当n=3时，2³＞2×3+1成立．
②假设n=k时，2^k＞2k+1，
则2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时猜想也成立
根据①②可知，对一切n≥3的正整数，都有2ⁿ＞2n+1，
故当n≥3时，T_2n＞

2n

2n+1

．

点评：本题以集合为载体，主要考查了等差数列的通项公式的求解，数学归纳法在证明数学命题中的应用，属于数列知识的简单应用