Question

已知抛物线x²=2py（p＞0），抛物线上一点A（a，4）到抛物线旳准线的距离为5．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点M（2，-1）作抛物线的两条切线，切点分别为B，C，求证：MB⊥MC．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意

p

2

+4=5，由此能求出抛物线的标准方程．
（2）由x²=4y，得y′=

1

2

x，从而x²=4y在点（x₀，

x02

4

）处的切线方程为y-

x02

4

=

x0

2

(x-x0)，把点M（2，-1）代入，得x02-4x0-4=0，从而B（2+2

2

，4+2

2

），C（2-2

2

，4-2

2

），由此能证明MB⊥MC．

解答： （1）解：由题意抛物线的方程为x²=2py（p＞0），
因为点A（a，4）在抛物线上，
又点A（a，4）到抛物线准线的距离是5，
所以

p

2

+4=5，解得p=2．
所以抛物线的标准方程为x²=4y．
（2）证明：∵x²=4y，∴y′=

1

2

x，
∴x²=4y在点（x₀，

x02

4

）处的切线方程为y-

x02

4

=

x0

2

(x-x0)，
把点M（2，-1）代入，得x02-4x0-4=0，
解得

x0=2+2 2 y0=4+2 2

，或

x0=2-2 2 y0=4-2 2

，
∴B（2+2

2

，4+2

2

），C（2-2

2

，4-2

2

），
∴k_MB=

4+2 2

2 2

，k_MC=

4-2 2

-2 2

，
∴k_MB•k_MC=

4+2 2

2 2

×

4-2 2

-2 2

=-1，
∴MB⊥MC．

点评：本题考查抛物线标准方程的求法，考查两直线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．