Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x（x∈R），不等式e^t•f（2t）-mf（t）＜0对于t∈（0，1）恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据指数函数的性质，将不等式转化为求函数的最值恒成立问题，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=e^x-e^-x（x∈R），
∴f（2x）=e^2x-e^-2x（x∈R），
则不等式e^t•f（2t）-mf（t）＜0等价为
e^t•（e^2t-e^-2t）-m（e^t-e^-t）＜0，
即e^t•（e^t-e^-t）（e^t+e^-t）＜m（e^t-e^-t），
当t∈（0，1）时，e^t-e^-t＞0，
∴不等式等价为e^t•（e^t+e^-t）＜m，
即e^2t+1＜m在t∈（0，1）恒成立，
即（e^2t+1）_max＜m，
当t∈（0，1）时，e^2t+1∈（2，e²+1），
∴m≥e²+1，
故答案为：[e²+1，+∞）．

点评：本题主要考查指数函数的性质和运算，以及根据指数函数的性质解决不等式恒成立问题，考查学生的计算能力．