Question

15．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（1+$\frac{b}{2}$）x²+2bx在区间[3，5]上不是单调函数，则函数f（x）在R上的极大值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$b²-$\frac{1}{6}$b³
• B． $\frac{3}{2}$b-$\frac{2}{3}$
• C． 0
• D． 2b-$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．

解答 解：f′（x）=x²-（2+b）x+2b=（x-b）（x-2），
∵函数f（x）在区间[3，5]上不是单调函数，
∴3＜b＜5，则由f′（x）＞0，得x＜2或x＞b，
由f′（x）＜0，得2＜x＜b，
故f（x）在（-∞，2）递增，在（2，b）递减，在（b，+∞）递增，
∴函数f（x）的极大值为f（2）=2b-$\frac{4}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．