Question

14．设a，b，c∈R，且它们的绝对值都不大于1，求证：ab+bc+ca+1≥0．

Answer 1

分析 通过将字母a作为未知数，b、c看做系数，构造一次函数f（a）=（b+c）a+bc+1，利用f（a）在[-1，1]上恒为非负即得结论．

解答 证明：设f（a）=（b+c）a+bc+1，则f（a）是关于a的一次函数，
∵a，b，c∈[-1，1]，
∴f（1）=b+c+bc+1=b（1+c）+（c+1）=（b+1）（c+1）≥0，
f（-1）=-（b+c）+bc+1=b（c-1）+1-c=（1-b）（1-c）≥0，
∴f（a）在[-1，1]上恒为非负，
∴ab+bc+ca+1≥0．

点评 本题考查不等式的证明，本解法的关键在于具有函数意识，运用函数思想构造一次函数，由一次函数的图象性质使问题得以解决，注意解题方法的积累，属于中档题．