Question

6．某人10万元买了1辆车，每年使用的保险费．养路费和油费共1万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年递增0.1万元，则这种汽车使用10$\sqrt{2}$年时，它的年平均费用最少．

Answer 1

分析 通过记第n年维修费用为a_n，计算可知a_n=0.1n+0.1（万元），进而可知前n年维修费用A_n=$\frac{n（0.1n+0.3）}{2}$（万元），化简可知年平均费用S=$\frac{10}{n}$+$\frac{0.1n}{2}$+$\frac{2.3}{2}$，进而利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：依题意，记第n年维修费用为a_n，则a_n=0.2+0.1（n-1）=0.1n+0.1（万元），
则前n年维修费用A_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（0.2+0.1n+0.1）}{2}$=$\frac{n（0.1n+0.3）}{2}$（万元），
故年平均费用S=$\frac{10+{A}_{n}+n}{n}$=$\frac{10}{n}$+$\frac{0.1n}{2}$+$\frac{2.3}{2}$，
∵$\frac{10}{n}$+$\frac{0.1n}{2}$≥2$\sqrt{\frac{10}{n}•\frac{0.1n}{2}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{10}{n}$=$\frac{0.1n}{2}$即n=10$\sqrt{2}$时取等号，
∴这种汽车使用10$\sqrt{2}$年时，它的年平均费用最少，
故答案为：10$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查等差数列的求和，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．