Question

13．已知a＞b，二次三项式ax²+2x+b≥0对一切实数恒成立，又?x₀∈R，使a${x}_{0}^{2}$+2x₀+b=0，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由条件求得a＞1，ab=1，由此把要求的式子化为$\frac{{a}^{4}+1}{{a}^{3}-a}$=$\frac{（a-\frac{1}{a}）^{2}+2}{a-\frac{1}{a}}$=（a-$\frac{1}{a}$）+$\frac{2}{a-\frac{1}{a}}$，利用基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵已知a＞b，二次三项式ax²+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，
∴a＞0，且△=4-4ab≤0，∴ab≥1．
再由?x₀∈R，使a${x}_{0}^{2}$+2x₀+b=0成立，可得△=0，
∴ab=1，
∴a＞1，
∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}{a-\frac{1}{a}}$=$\frac{（a-\frac{1}{a}）^{2}+2}{a-\frac{1}{a}}$=（a-$\frac{1}{a}$）+$\frac{2}{a-\frac{1}{a}}$≥2$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）•\frac{2}{a-\frac{1}{a}}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时取等号
故$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$的最小值为2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用以及函数恒成立的问题，式子的变形是解题的难点和关键，属于中档题．