Question

已知函数f（x）=sinωx+cosωx（1＜ω＜3）的一条对称轴方程为x=

π

8

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f²（

α

2

）=f²（

β

2

），α，β∈(0，

π

2

)，且α≠β，求α+β的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据x=

π

8

是f（x）=

2

sin（ωx+

π

4

） 的图象的一条对称轴，可得ω•

π

8

+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，由此可得ω的值．
（2）由已知可得：sin²（2×

α

2

+

π

4

）=sin²（2×

β

2

+

π

4

），由二倍角公式解得：sin2α=sin2β，由2α，2β∈（0，π），且α≠β，可解得2α=π-2β，从而可求α+β的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinωx+cosωx=

2

sin（ωx+

π

4

），
∵x=

π

8

是f（x）=sinωx+cosωx=

2

sin（ωx+

π

4

） 的图象的一条对称轴，
∴ω•

π

8

+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，
∴ω=8k+2，k∈z，
∵1＜ω＜3，
∴ω=2，
∴由三角函数的周期性及其求法可得：T=

2π

ω

=

2π

2

=π．
（2）∵f（

α

2

）=

2

sin（ω

α

2

+

π

4

），f（

β

2

）=

2

sin（ω

β

2

+

π

4

），ω=2，
∴由已知可得：sin²（2×

α

2

+

π

4

）=sin²（2×

β

2

+

π

4

），
∴由二倍角公式可得：

1-cos(2α+ π 2 )

2

=

1-cos(2β+ π 2 )

2

，解得：sin2α=sin2β．
∵2α，2β∈（0，π），且α≠β，
∴可解得：2α=π-2β，
∴可得：α+β=

π

2

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦函数的对称性，考查了三角函数的周期性及其求法，属于中档题．