Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）证明：当时，函数没有零点（提示：）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）因为，所以.所以函数的单调递增区间为，单调减区间为.当时，取得极小值.（2）由（1）可知：当时，取得极小值，亦即最小值.又因为，所以．设，则，因为在上单调递减，且，，所以有唯一的零点，使得在上单调递增，在上单调递减，

又由于，，所以恒成立.从而恒成立，则恒成立.所以当时，函数没有零点.

试题解析：解：（1）因为，

所以.

因为，所以当时，，当时，.

所以函数的单调递增区间为，单调减区间为.

当时，取得极小值.

（2）由（1）可知：当时，取得极小值，亦即最小值.

，又因为，所以．

设，则，

因为在上单调递减，且，，

所以有唯一的零点，使得在上单调递增，在上单调递减，

又由于，，

所以恒成立.从而恒成立，则恒成立.

所以当时，函数没有零点.