Question

14．求函数y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$（x＞2）的最小值，并求函数取最小值时x的值．

Answer 1

分析 由题意可得x²-4＞0，变形可得y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$=x²-4+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$+4，整体利用基本不等式可得．

解答 解：∵x＞2，∴x²＞4，∴x²-4＞0，
∴y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$=x²-4+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$+4
≥2$\sqrt{（{x}^{2}-4）•\frac{1}{{x}^{2}-4}}$+4=6，
当且仅当x²-4=$\frac{1}{{x}^{2}-4}$即x=$\sqrt{5}$时取等号．
故数y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}-4}$（x＞2）的最小值为6，此时x的值为$\sqrt{5}$

点评 本题考查基本不等式求最值，整体凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．