Question

已知椭圆

x2

2

+y²=1，则：
（1）求过点P（

1

2

，

1

2

）且被P平分的弦所在的直线方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A（2，1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足k_OP•k_OQ=-

1

2

，求线段PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出直线被椭圆所截两个端点A，B的坐标，直接利用点差法求得直线斜率，则答案可求；
（2）设出斜率为2的弦的中点的坐标及弦的两个端点坐标，借助于点差法列式得答案；
（3）设割线被椭圆所截的两个端点的坐标及弦中点的坐标，利用点差法列式得弦的中点的轨迹方程；
（4）设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），然后结合点差法及直线的斜率列式，整体化简得答案．

解答： 解：（1）设直线被椭圆所截两个端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，作差并整理得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

=-

1

2

，
即直线的斜率为-

1

2

，
∴过点P（

1

2

，

1

2

）且被P平分的弦所在的直线方程为y-

1

2

=-

1

2

(x-

1

2

)，即2x+4y-3=0；
（2）设斜率为2的弦的中点为（x₀，y₀），两个端点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，作差并整理得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

，
即-

2x0

2×2y0

=2，x₀+4y₀=0（-

2

＜x0＜

2

），
∴斜率为2的平行弦的中点轨迹方程为x+4y=0(-

2

＜x＜

2

)；
（3）设割线被椭圆所截的两个端点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，作差并整理得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

，
设弦中点为M（x₀，y₀），则

y0-1

x0-2

=-

2x0

4y0

，整理得：x02-2x0+2y02-2y0=0，
∴截得的弦的中点的轨迹方程为x²-2x+2y²-2y=0；
（4）设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），
则

x12

2

+y12=1  ①，

x22

2

+y22=1  ②，
2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂  ③，
由k_OP•k_OQ=-

1

2

，得

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，即x₁x₂+2y₁y₂=0  ④，
联立①②得：（x12+x22）+2（y12+y22）=4，
(x1+x2)2-2x1x2+2(y1+y2)2-4y1y2=4，
即(x1+x2)2+2(y1+y2)2-2(x1x2+2y1y2)=4  ⑤，
把③④代入⑤得：（2x）²+2（2y）²-2×0=4，
即4x²+8y²=4，
x²+2y²=1，
∴线段PQ中点M的轨迹方程为x²+2y²=1．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，着重训练了点差法，体现了设而不求的解题思想方法，是中档题．