Question

20．命题p：a（1-a）＞0；命题q：y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则a的取值范围是（-∞，0]∪$[\frac{1}{2}，1）$∪$（\frac{5}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 命题p：a（1-a）＞0；解得0＜a＜1．命题q：y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，则（2a-3）²-4＞0．如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假．

解答 解：命题p：a（1-a）＞0；解得0＜a＜1．
命题q：y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，则（2a-3）²-4＞0，解得$a＜\frac{1}{2}$或a$＞\frac{5}{2}$．
如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
解得$\frac{1}{2}≤a＜1$或a≤0或$a＞\frac{5}{2}$．
则a的取值范围是（-∞，0]∪$[\frac{1}{2}，1）$∪$（\frac{5}{2}，+∞）$．
故答案为：（-∞，0]∪$[\frac{1}{2}，1）$∪$（\frac{5}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．