Question

一只红铃虫的产卵数y与温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表：

温度x/℃	21	23	25	27	29	32	35
产卵数y/个	7	11	21	24	66	115	325

为建立y与x之间的回归方程，我们采用了两种回归模型，得到回归方程如下：
①

y

=e^0.272x-3.849；②

y

=0.367x²-202.543．
试比较上述两种拟合模型，阐述其数据拟合的基本思想和方法：

Answer 1

考点：线性回归方程

专题：概率与统计

分析：作出两种回归模型的散点图，通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z=ln y，则变换后样本点分布在直线z=bx+a（a=ln c₁，b=ln c₂）的附近，这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了．变换的样本点分布在一条直线的附近，推出回归直线方程，查看y与x之间的线性回归方程，推出结果．

解答： 解：根据收集的数据，作散点图，如图．

    从图中可以看出，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c₁ 的附近，其中c₁、c₂为待定的参数．我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z=ln y，则变换后样本点分布在直线z=bx+a（a=ln c₁，b=ln c₂）的附近，这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了．变换的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合．
    由上表中的数据可得到变换的样本数据表，如下表：

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

可以求得线性回归直线方程为

?

y

=0.272x-3.843．
    因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为

?

y

=e^0.272x-3.843．另一方面，可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=c₃x²+c₄的附近，其中c₃，c₄为待定参数，因此可以对温度变量进行变换，即令t=x²，然后建立y与t之间的线性回归方程，从而得到y与x之间的非线性回归方程．
    下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的线性回归模型拟合表，作出相应的散点图，如图：

t	441	529	625	729	841	1 024	1 225
y	7	11	21	24	66	115	325

从图中可以看出，y与t的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次函数y=c₃x²+c₄来拟合x与y之间的关系，因此利用

?

y

=e^0.272x-3.843来拟合效果较好．

点评：本题考查线性回归方程的应用，散点图以及函数的关系式的应用，散点图是否分布在一条直线的周围，是解题关键．