Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=a（a∈R），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{a_n-3，a_n＞3}\\{2a_n，a_n≤3}\end{array}\right.$，n∈N^*；
（1）若0＜a_n≤6，求证：0＜a_n+1≤6；
（2）若a=5，求S₂₀₁₆；
（3）若a=$\frac{3}{2^m-1}$（m∈N^*），求S_4m+2的值．

Answer 1

分析 （1）分当a_n∈（0，3]时和当a_n∈（3，6]时，分别求出a_n+1的范围，得到要证的不等式．
（2）根据递推公式得到，数列{a_n}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，从2项起，以3为周期的数列，即可求出答案．
（3）通过解不等式判断出项的取值范围，从而判断出项之间的关系，选择合适的求和方法求出和．

解答 解：（1）当a_n∈（0，3]时，则a_n+1=2a_n∈（0，6]，
当a_n∈（3，6]时，则a_n+1=a_n-3∈（0，3]，
故a_n+1∈（0，6]，
所以当0＜a_n≤6时，总有0＜a_n+1≤6．
（2）a₁=a=5时，a₂=a₁-3=2，a₃=2a₂=4，a₄=a₃-3=1，a₅=2a₄=2，a₆=2a₅=4，a₇=a₆-3=1，
∴数列{a_n}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，
∴从2项起，以3为周期的数列，其和为2+4+1=7，
∴S₂₀₁₆=5+7×671+2+4=4708
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故a=$\frac{3}{2^m-1}$≤3，
当1＜k≤m时，2^k-1a≤$\frac{3×{2}^{m-1}}{{2}^{m-1}}$=$\frac{3×{2}^{m-1}}{{2}^{m-1}+{2}^{m-1}-1}$＜$\frac{3×{2}^{m-1}}{{2}^{m-1}}$=3．
故a_k=2^k-1a且a_m+1=2^ma．又a_m+1=$\frac{3×{2}^{m}}{{2}^{m}-1}$＞3，
所以a_m+2=a_m+1-3=2^ma-3=2^m•$\frac{3}{{2}^{m}-1}$-3=a．
故S_4m+2=S_4（m+1）-a_4m+3-a_4m+4=4（a₁+a₂+•…+a_m+1）-（2^m-1+2^m）a
=4（1+2+…+2^m）a-3×2^m-1a=4（2^m+1-1）a-3×2^m-1a
=（2^m+3-3-3×2^m-1）a=$\frac{39×{2}^{m-1}-12}{{2}^{m}-1}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和数列的求和公式，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．