Question

【题目】设函数f（x）=x﹣alnx+ ．
（Ⅰ）若a＞1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞3，函数g（x）=a2x2+3，若存在x1 ， x2∈[ ，2]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）= ，
令f′（x）=0，得x1=1，x2=a﹣1，（a＞1），
①当a﹣1＜1，即1＜a＜2时，函数f（x）在（0，a﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（a﹣1，1）上单调递减；
②当a﹣1=1，即a=2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a﹣1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（0，1），（a﹣1，+∞）上单调递增，在（1，a﹣1）上单调递减；
（Ⅱ）当a＞3，即a﹣1＞2时，函数f（x）在[ ，1）上为增函数，在（1，2]上为减函数，
所以函数f（x）在x∈[ ，2]上的最大值为f（1）=2﹣a＜0，
因为函数g（x）在[ ，2]上单调递增，
所以g（x）的最小值为g（ ）= +3＞0，
所以g（x）＞f（x）在x∈[ ，2]上恒成立，
要存在x1 ， x2∈[ ，2]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，
只需要g（ ）﹣f（1）＜9，
即 +3+a﹣2＜9，解得：﹣8＜a＜4，
又a＞3，所以a的取值范围是（3，4）
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，问题转化为g（ ）﹣f（1）＜9，求出a的范围即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．