Question

设p：函数f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R；q：设

a

=(2x2+x  ，-1)，

b

=(1  ， ax+2)，不等式

a

•

b

＞0对?x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：现将命题p和q化简，注意恒成立问题的转化，然后由“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，分类讨论即可．

解答： 解：若p真则ax²-4x+a＞0对x∈R都成立，则△＜0且a＞0，

a＞0 16-4a2＜0

解得a＞2，
若q真则由

a

•

b

＞0对?x∈（-∞，-1）上恒成立，
2x²+x-（ax+2）＞0即a＞2x-

2

x

+1对?x∈（-∞，-1）上恒成立，则a＞（2x-

2

x

+1）_max
令y=2x-

2

x

+1，在 （-∞，-1]上是增函数，当x=-1时取得最大值y_max=1，
故a≥1，
又“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，
若p真q假，则

a＞2 a＜1

，无解，
若p假q真，则

a≤2 a≥1

，则1≤a≤2，
综上，1≤a≤2．

点评：本题考查复合命题的真假判断，注意恒成立问题转化为二次函数性质或最值问题处理．