Question

14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1即可计算出f（1）；
（2）根据题意得出f（4）=2，所以不等式f（x）+f（x-3）≤2转化为f[x（x-3）]≤f（4），再根据函数的单调性即可求出x范围；

解答 （1）令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；
（2）2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]；
∵f（x）+f（x-3）≤2 即f[x（x-3）]≤f（4）；
∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x（x-3）≤4}\\{x＞0}\\{x-3＞0}\end{array}\right.$⇒3＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集为{x|3＜x≤4}．

点评 本题主要考查了新定义抽象函数的具体应用，以及函数的单调性知识点，属中档题．