Question

已知点P（a，a）（a为常数），点Q（

2

，

2

），若点R在函数f（x）=

2

x

（x＞0）图象上移动时不等式|PR|≥|PQ|恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a≥2

  2

• B、a≤2

  2

• C、-2

  2

  ≤a≤2

  2

• D、a≤-2

  2

  或a≥2

  2

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：依题意知，点P（a，a）（a为常数），点Q（

2

，

2

）均为直线y=x上的点，作出图形，易知a＜

2

时，不等式|PR|≥|PQ|恒成立；当a≥

2

时，设R（x，

2

x

），
通过构造函数g（t）=t²-2at+4

2

a-8=（t-a）²+4

2

a-8-a²（t≥2

2

），其对称轴方程为t=a，利用二次函数的单调性质分类讨论，来解决函数恒成立问题即可．

解答： 解：∵点P（a，a）（a为常数），点Q（

2

，

2

）均为直线y=x上的点，点R在函数f（x）=

2

x

（x＞0）图象上移动，
作图如下：

由图可知，当点P在射线QM（红线）上移动，即a＜

2

时，不等式|PR|≥|PQ|恒成立；
当a≥

2

时，设R（x，

2

x

），
则|PR|=

(x-a)2+( 2 x -a)2

，又|PQ|=|PO|-|OQ|=

2

a-

( 2 )2+( 2 )2

=

2

a-2＞0，
∴不等式|PR|≥|PQ|恒成立?

(x-a)2+( 2 x -a)2

≥

2

a-2恒成立?（x-a）²+(

2

x

-a)2≥2a²-4

2

a+4恒成立；
整理得：(x+

2

x

)2-2a（x+

2

x

）+4

2

a-8≥0恒成立；
令t=x+

2

x

，则t≥2

2

，
构造函数g（t）=t²-2at+4

2

a-8=（t-a）²+4

2

a-8-a²（t≥2

2

），
若

2

≤a≤2

2

，y=g（t）在[2

2

，+∞）上单调递增，
要使g（t）=（t-a）²+4

2

a-8-a²≥0恒成立，只需g（t）_min=g（2

2

）=(2

2

)2-2×2

2

a+4

2

a-8=0≥0成立，显然成立，
∴

2

≤a≤2

2

；
若a＞2

2

，同理可得，t=a时y=g（t）取得最小值，即g（t）_min=g（a）=4

2

a-8-a²=-(a-2

2

)2＜0，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围是a≤2

2

；
故选：B．

点评：本题考查函数的图象与性质的综合应用，着重考查函数恒成立问题，突出等价转化思想、函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，属于难题．