试题分析:(1)根据已知条件与待求式,作差
,可得
,而
,故数列
是等比数列,通项公式可求;(2)考虑要证的表达式求和
,表面上看不出什么,但由
,可得
,由由
,可以想象
,是常数,因此可用数学归纳法证明;(3)由(1)(2)可解得
,那么其前
项和
可用分组求和法求得,
,这样我们就可求出
,
,相当于
,由于
,从而
,一直是我们只要求得
的最大值
和
的最小值
,则就是
,由此可求得
的范围.
试题解析:(1)因为
,
,所以
(
), (1分)
所以
,
,
, (2分)
即数列
是首项为
,公比为
的等比数列, (3分)
所以
. (4分)
(2)解法一:
, (1分)
因为
,所以
,
,
猜测:
(
). (2分)
用数学归纳法证明:
①当
时,
,结论成立; (3分)
②假设当
(
)时结论成立,即
,那么当
时,
,即
时结论也成立. (5分)
由①,②得,当
时,
恒成立,即
恒为定值.(6分)
解法二:
, (1分)
所以
,(4分)
而
,所以由上述递推关系可得,当
时,
恒成立,即
恒为定值.(6分)
(3)由(1)、(2)知
,所以
,(1分)
所以
,
所以
, (2分)
由
得
,
因为
,所以
, (3分)
当
为奇数时,
随
的增大而递增,且
,
当
为偶数时,
随
的增大而递减,且
,
所以,
的最大值为
,
的最小值为
. (4分)
由
,得
,解得
. (6分)
所以,所求实数
的取值范围是
.