Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，F₁，F₂分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF₂并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F₁C.

(1)若点C的坐标为，且BF₂＝，求椭圆的方程；

(2)若F₁C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

Answer 1

解　设椭圆的焦距为2c，则F₁(－c,0)，F₂(c,0)．

(1)因为B(0，b)，所以BF₂＝＝a.

又BF₂＝，故a＝.

因为点解得b²＝1.

故所求椭圆的方程为＋y²＝1.

(2)因为B(0，b)，F₂(c,0)在直线AB上，

所以直线AB的方程为＋＝1.

解方程组

所以点A的坐标为.

又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为

因为直线F₁C的斜率为，直线AB的斜率为－，且F₁C⊥AB，

又b²＝a²－c²，整理得a²＝5c².故e²＝.

因此e＝.