Question

18．已知cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，求β的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，求得cosβ的值，可得β的值．

解答 解：∵cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$\frac{\sqrt{5}}{5}•（-\frac{\sqrt{10}}{10}）$+$\frac{3\sqrt{10}}{10}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴β=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．