Question

已知f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5），
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式．
（2）若y=lg[f（x）-ax+1]的定义域为实数R，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据幂函数的定义和性质即可求m的值，并确定f（x）的解析式．
（2）若y=lg[f（x）-ax+1]的定义域为实数R，求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5），
∴-2m²+m+3＞0，
即2m²-m-3＜0，
解得-1＜m＜

3

2

，
∵m∈Z，∴m=0或m=1，
当m=0时，f（x）=x³为奇函数，不满足条件．
当m=1时，f（x）=x²为偶函数，满足条件．
（2）若y=lg[f（x）-ax+1]的定义域为实数R，
则f（x）-ax+1＞0恒成立，
即x²-ax+1＞0恒成立，
则判别式△=a²-4＜0，
解得-2＜a＜2，
故实数a的取值范围是a∈（-2，2）．

点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，根据条件求出幂函数的解析式是解决本题的关键．