Question

8．定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（4）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＜xf′（x）恒成立，则函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+e^|x|-1的零点的个数为2．

Answer 1

分析 根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0=f（4）=f（-4），令函数h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，分析可得h（x）为偶函数，当x＞0时，对其求导分析可得h′（x）＞0，即可得x＞0时，函数h（x）是增函数，结合偶函数的性质分析可得x＜0时，h（x）是减函数，结合题意，即可得答案．

解答 解：根据题意，y=f（x）是R上的奇函数，
则有f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
又由f（x）满足f（4）=0，
则有f（0）=0=f（4）=f（-4），
令函数h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，h（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=h（x），
∴h（x）是偶函数，
又x＞0时，f（x）＜xf'（x）恒成立，
即xf'（x）-f（x）＞0恒成立，
对于函数h（x），则有h′（x）＞0，
则x＞0时，函数h（x）是增函数，
故x＜0时，h（x）是减函数，
函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+e^|x|-1的零点，
即h（x）与y=1-e^|x|的交点，
画出函数的图象，如图所示：

结合函数图象得到h（x）与y=1-e^|x|的交点有2个，
即函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+e^|x|-1的零点的个数为2个，
故答案为：2．

点评 本题考查函数零点个数的判定，涉及导数与函数单调性的性质，注意函数的单调性的充分应用．