Question

8．已知f（x）为二次函数，f（x-2）=f（-x-2），且f（0）=1，图象在x轴上截得的线段长为2$\sqrt{2}$，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由条件便知，二次函数f（x）的对称轴为x=-2，而由f（0）=1便可设f（x）=ax²+bx+1，根据对称轴便有，$-\frac{b}{2a}=-2$，从而得到b=4a，根据题意知f（x）=0有两个不同的实数根，可求出这两个根，根据f（x）在x轴上截得的线段长便可求出b，a，这样便可得出f（x）的解析式．

解答 解：根据f（x-2）=f（-x-2）知，f（x）的对称轴为x=-2，又f（0）=1；
∴设f（x）=ax²+bx+1；
∴$-\frac{b}{2a}=-2$；
∴b=4a，则令f（x）=0得：x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-b}}{\frac{b}{2}}$
∵f（x）图象在x轴截得的线段长为$2\sqrt{2}$；
∴$|\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-b}}{\frac{b}{2}}-\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-b}}{\frac{b}{2}}|=2\sqrt{2}$；
∴$\frac{2\sqrt{{b}^{2}-b}}{|b|}=\sqrt{2}$；
∴$\frac{4（{b}^{2}-b）}{{b}^{2}}=2$；
解得b=2，或b=0（舍去）；
∴$a=\frac{1}{2}$；
∴f（x）的解析式为：$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+1$．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的一般形式，根据f（x+a）=f（-x+a）便知f（x）的图象关于x=a对称，以及一元二次方程的求根公式，会求二次函数图象在x轴截得的线段长．