Question

（1）在等差数列{a_n}中，已知a₁=20，前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅，求当n取何值时，S_n取得最大值，并求出它的最大值；
（2）已知数列{a_n}的通项公式是a_n=4n-25，求数列{|a_n|}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得10×20+

10×9

2

d=15×20+

15×14

2

d，从而d=-

5

3

，进而求出S_n=-

5

6

（n-

25

2

）²+

3125

24

，由此能求出当n=12或13时，S_n取得最大值130．
（2）由已知得{a_n}是首项为-21，公差为4的等差数列，从而数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-23n，由a_n=4n-25≥0，得n≥

25

4

，从而n≤6时，a_n＜0，n≥7时，a_n＞0，由此能求出数列{|a_n|}的前n项和．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差数列，a₁=20，前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅，
∴10×20+

10×9

2

d=15×20+

15×14

2

d，
解得d=-

5

3

，
∴S_n=20n+

n(n-1)

2

×(-

5

3

)=-

5

6

n2+

125n

6

=-

5

6

（n-

25

2

）²+

3125

24

，
∴当n=12或13时，S_n取得最大值S₁₂=S₁₃=130．
（2）∵数列{a_n}的通项公式是a_n=4n-25，
∴a₁=4-25=-21，a_n-a_n-1=（4n-25）-（4n-4-25）=4，
∴{a_n}是首项为-21，公差为4的等差数列，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=-21n+

n(n-1)

2

×4=2n²-23n，
由a_n=4n-25≥0，得n≥

25

4

，
∴n≤6时，a_n＜0，n≥7时，a_n＞0，
设数列{|a_n|}的前n项和为T_n，
当n≤6时，T_n=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n=23n-2n²；
当n≥7时，T_n=S_n-2S₆=2n²-23n-2（2×36-23×6）=2n²-23n+132．
∴数列{|a_n|}的前n项和：Tn=

23n-2n2，n≤6 2n2-23n+132，n≥7

．

点评：本题考查等差数列的前n项和取最大值时项数的求法和最大值的求法，考查数列的各项绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．