Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，点（n，S_n）在以点F（0，

1

4

）为焦点，坐标原点为顶点的抛物线上，数列{b_n}满足b_n=2^a_n
（1）求数列{a_n}{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,抛物线的简单性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）以点F（0，

1

4

）为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为：x²=y，由于点（n，S_n）在抛物线上，可得Sn=n2，利用递推式即可得出a_n，进而得到b_n．
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^2n-1，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）以点F（0，

1

4

）为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为：x²=y，
∵点（n，S_n）在抛物线上，
∴Sn=n2，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=2n-1．
∴bn=2an=2^2n-1．
综上可得：a_n=2n-1．，b_n=2^2n-1（n∈N^*）．
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^2n-1．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2+3×2³+5×2⁵+…+（2n-1）•2^2n-1，
4T_n=2×2²+3×2⁵+…+（2n-3）×2^2n-1+（2n-1）×2²ⁿ⁺¹，
∴-3T_n=2+2×2³+2×2⁵+…+2×2^2n-1-（2n-1）×2²ⁿ⁺¹=

4(4n-1)

4-1

-2-（2n-1）×2²ⁿ⁺¹=

(5-6n)×22n+1-10

3

，
∴T_n=

(6n-5)×22n+1+10

9

．

点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、“错位相减法”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．