Question

如图,设有双曲线,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上．

(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;

(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积又是多少?

(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论．

 

 

Answer 1

(1) ; (2) , ; (3) θ增大时面积变小，证明过程见解析．

【解析】

试题分析：(1) 设,, 直角三角形△F1MF2中，利用双曲线定义得,平方得，求得面积；(2) △F1MF2 中由余弦定理可得，|MF1|·|MF2|，由面积公式可得面积；(3) 由双曲线定义与余弦定理，可得面积与θ的关系，所以θ增大时面积变小．

【解析】
(1)由双曲线方程知a=2,b=3,,

设, ()．

由双曲线定义,有,两边平方得,

,

即,

也即,求得． 4分

(2)若∠F1MF2=60°,在△MF1F2中,

由余弦定理得,

,所以．

求得．

同理可求得若∠F1MF2=120°, ． 8分

(3)由以上结果猜想,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小．

证明如下:

令∠F1MF2=θ,则．

由双曲线定义及余弦定理,有

②-①得,

所以,

因为0<θ<π,,

在内,是增函数，

因此当θ增大时, 将减小． 12分

考点：双曲线的定义，余弦定理，三角形面积公式．