Question

10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA₁=3，点E，F分别在棱BB₁，CC₁上，且C₁F=$\frac{1}{3}$C₁C，BE=$\frac{1}{3}$BB₁．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求直线AA₁与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥面ABC，又AC?面ABC，∴A₁A⊥AC，从而证得命题
（Ⅱ）在△AEF中，AE=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{5}$则AE²+EF²=AF²，得到垂直关系，找到高，继而求得正弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥面ABC，又AC?面ABC，∴A₁A⊥AC
且A₁A∩AB=A，又A₁A，AB?面A₁AB∴AC⊥面A₁ABB₁
（Ⅱ）在△AEF中，AE=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{5}$则AE²+EF²=AF²，
因此∠AEF=90°，∴${S}_{△AEF}=\frac{\sqrt{6}}{2}$又可证BA⊥面A₁ACC₁，
∴B与面A₁AF之间的距离为1，
又可证BE∥面A₁AF，
∴E与面A₁AF之间的距离为1，
∴${V}_{E-{A}_{1}AF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×1=\frac{1}{2}$
设A₁与面AEF之间的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×h=\frac{1}{2}$
得h=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AA₁与面AEF所成的角的正弦值为$\frac{h}{A{A}_{1}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

点评 本题主要考查立体几何中的线面关系的证明和线面角的求解，属中档题型，高考常考题型．