Question

若直线y=x+b与曲线y=3+

4x-x2

有公共点，则实数b的取值范围是（　　）

• A、[-1，1+2

  2

  ]
• B、[1-2

  2

  ，1+2

  2

  ]
• C、[1-2

  2

  ，3]
• D、[1-

  2

  ，3]

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由曲线y=3+

4x-x2

，得（x-2）²+（y-3）²=4，0≤x≤4，直线y=x+b与曲线y=3+

4x-x2

有公共点，圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b的取值范围．

解答： 解：由曲线y=3+

4x-x2

，
得（x-2）²+（y-3）²=4，0≤x≤4，
∵直线y=x+b与曲线y=3+

4x-x2

有公共点，
∴圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，
即d=

|2-3+b|

2

≤2，
∴1-2

2

≤b≤1+2

2

，①
∵0≤x≤4，
∴x=4代入曲线y=3+

4x-x2

，得y=3，
把（4，3）代入直线y=x+b，得b_min=3-4=-1，②
联立①②，得-1≤b≤1+2

2

．
∴实数b的取值范围是[-1，1+2

2

]．
故选：A．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．