Question

已知向量

m

=（a_n，2ⁿ），

n

=（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，

m

⊥

n

，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n+1，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,平面向量数量积的运算

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由2n+1an=2nan+1，得

an+1

an

=2，由此能求出an=2n-1．
（2）b_n=log₂a_n+1=n，由

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能求出数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵m=（an，2n），n=（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，m⊥n，
∴2n+1an=2nan+1，
若a_n=0，a_n+1=0与a₁=1矛盾，
∴

an+1

an

=2，
数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1．
（2）∵b_n=log₂a_n+1=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式，考查数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．