Question

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），

1

c+1

+

9

a+9

则的最大值是（　　）

• A、

  3

• B、2
• C、

  6

  5

• D、1

Answer 1

考点：基本不等式,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），可得ac=4，对

1

c+1

+

9

a+9

通分变形后利用基本不等式可求最大值．

解答： 解：由二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），得

a＞0 △=16-4ac=0

，∴ac=4，a＞0，c＞0，

1

c+1

+

9

a+9

=

a+9c+18

(c+1)(a+9)

=

a+9c+18

a+9c+13

=1+

5

a+9c+13

≤1+

5

2 9ac +13

=1+

5

25

=

6

5

，
当且仅当a=9c时取等号，
由

ac=4 a=9c

解得c=

2

3

，a=6，
∴

1

c+1

+

9

a+9

则的最大值是

6

5

，
故选C．

点评：该题考查二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，注意使用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．