Question

抛物线y²=4x的焦点为F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在抛物线上且A，B，F三点共线且|AB|=

25

4

求（1）直线AB的方程．
（2）△AOB外接圆方程．

Answer 1

（1）∵y²=4x的焦点F（1，0），
依题意，设直线AB的方程为y=k（x-1），因为|AB|=

25

4

，
由抛物线的定义可得：|AB|=|AA′|+|BB′|=x₁+1+x₂+1=

25

4

，
∴x₁+x₂=

17

4

．

由

y=k(x-1) y2=4x

得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

=

17

4

，
∴k²=

16

9

，又k＞0，
∴k=

4

3

．
∴直线AB的方程为：y=

4

3

（x-1）．
（2）将k²=

16

9

代入k²x²-（2k²+4）x+k²=0得：4x²-17x+4=0，
∴x=

1

4

或x=4，即x₁=4，x₂=

1

4

，将x₁，x₂分别代入直线AB的方程y=

4

3

（x-1）得：y₁=4，y₂=-1．
∴A（4，4），B（

1

4

，-1）．
设△AOB外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则：

F=0 16+16+4D+4E=0 1 16 +1+ 1 4 D-E=0

，解得

F=0 D=- 29 4 E=- 3 4

．
故△AOB外接圆方程为x²+y²-

29

4

x-

3

4

y=0．