已知椭圆C1.抛物线C2的焦点均在x轴上.且椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点均为原点O.从椭圆C1上取两个点．抛物线C2上取一个点．将其坐标记录于表中: x 3-2 $\sqrt{2}$ y-2$\sqrt{3}$ 0 $\frac{\sqrt{6}}{2}$(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的标准方程:与椭圆C1交于不同的两点M.N．(i)若线段MN的垂直平分线过点G.求实数k的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，且椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点均为原点O，从椭圆C₁上取两个点．抛物线C₂上取一个点．将其坐标记录于表中：

x	3	-2	$\sqrt{2}$
y	-2$\sqrt{3}$	0	$\frac{\sqrt{6}}{2}$

（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的标准方程：
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C₁交于不同的两点M、N．
（i）若线段MN的垂直平分线过点G（$\frac{1}{8}$，0），求实数k的取值范围．
（ii）在满足（i）的条件下，且有m≠=1，求△OMN的面积S_△OMN．

分析（Ⅰ）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），抛物线的方程设为y²=mx，（m≠0），可得点（-2，0）和点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）在椭圆上代入解得a，b，即可得到所求椭圆方程；再将点（3，-2$\sqrt{3}$）代入抛物线的方程，可得m，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）（i）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由直线y=kx+m与椭圆有两个交点，知m²＜4k²+3．又x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，知MN中点P的坐标，由此能求出k的范围；
（ii）运用弦长公式可得|MN|，求得点O到直线MN的距离，运用三角形的面积公式，化简整理即可得到所求．

解答解：（I）由题意设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
抛物线的方程设为y²=mx，（m≠0），
由所给的坐标可得点（-2，0）在椭圆上，
即有a=2，在椭圆上的点的横坐标在[-2，2]内，
则点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）在椭圆上，有$\frac{2}{4}$+$\frac{6}{4{b}^{2}}$=1，
解得b=$\sqrt{3}$，则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
由点（3，-2$\sqrt{3}$）在抛物线上，可得12=3m，
解得m=4，则抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）（i）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y并整理得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
直线y=kx+m与椭圆有两个交点，可得
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3，①
又x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
MN中点P的坐标为（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
设MN的垂直平分线l'方程：y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{8}$）．
由P在l'上，可得$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{1}{8}$），即4k²+8km+3=0，
可得m=-$\frac{3+4{k}^{2}}{8k}$，
将上式代入①得$\frac{（3+4{k}^{2}）^{2}}{64{k}^{2}}$＜4k²+3，
化为k²＞$\frac{1}{20}$，即k＞$\frac{\sqrt{5}}{10}$或k＜-$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
则k的取值范围为（-∞，-$\frac{\sqrt{5}}{10}$）∪（$\frac{\sqrt{5}}{10}$，+∞）；
（ii）由（i）可得|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（4{m}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
又O到直线MN的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，可得
△OMN的面积为S_△OMN=$\frac{1}{2}$d•|MN|=$\frac{1}{2}$|m|•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$•|-$\frac{3+4{k}^{2}}{8k}$|•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{3+4{k}^{2}-\frac{（3+4{k}^{2}）^{2}}{64{k}^{2}}}}{3+4{k}^{2}}$，
化简可得S_△OMN=$\frac{\sqrt{3}}{32}$•$\frac{\sqrt{（3+4{k}^{2}）（60{k}^{2}-3）}}{{k}^{2}}$．

点评本题考查椭圆和抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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