Question

设变量x，y满足不等式组

2x-y≤1 x+y≥2 y-x≤2

，则

x4+y4+2+2x2y2

2x2+2y2

的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

  2

• C、2

  2

• D、2

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：化简所求表达式，利用约束条件画出可行域，通过表达式的几何意义以及函数的单调性求出最小值．

解答： 解：由

x4+y4+2+2x2y2

2x2+2y2

=

x2+y2

2

+

1

x2+y2

，
画出约束条件

2x-y≤1 x+y≥2 y-x≤2

的可行域如图：x²+y²的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由可行域可知，OA的距离最小，OB的距离最大，

2x-y=1 y-x=2

，解得B（3，5）；

x+y=2 y-x=2

解得A（1，1）；
∴2≤x²+y²≤34，

x2+y2

2

+

1

x2+y2

在x2+y2∈[

2

，+∞)时是增函数，
∴

x4+y4+2+2x2y2

2x2+2y2

的最小值为：1+

1

2

=

3

2

．
故选：B．

点评：本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及表达式的几何意义是解题的关键．