Question

已知f（x）=2-

1

x+1

-x（x＞-1），若f（x）≤t²-2at+1大于所有的x∈（-1，+∞），a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件推导出f（x）=2-

1

x+1

-x的最大值为1．从而得到2ta-a²≤0对于所有的a∈[-1，1]恒成立，由此能求出实数t的取值范围．

解答： 解：∵x＞-1，∴x+1＞0，
f（x）=2-

1

x+1

-x
=3-（

1

x+1

+x+1）
≤3-2

1 x+1 •(x+1)

=1，
∴f（x）的最大值为1．
∴f（x）≤t²-2at+1对于所有的x∈（-1，+∞），a∈[-1，1]恒成立
等价于1≤t²-2at+1对于所有的a∈[-1，1]恒成立，
∴2ta-a²≤0对于所有的a∈[-1，1]恒成立，
令g（a）=2ta-t²，只要

g(-1)≤0 g(1)≤0

，
∴t≤-2，或t≥0，或t=0．
∴实数t的取值范围是{t|t≤-2，或t≥0，或t=0}．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和均值定理的合理运用．