Question

已知圆心为（1，1）的圆C经过点M（1，2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线x+y+m=0与圆C交于A、B两点，且△ABC是直角三角形，求实数m．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知，圆的半径r=|CM|=

(1-1)2+(2-1)2

=1，由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）由题意可知，|CA|=|CB|=1，且∠ACB=90°，圆心C到直线x+y+m=0的距离为

2

2

，由此能求出实数m．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，圆的半径r=|CM|=

(1-1)2+(2-1)2

=1，
所以圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=1．…（3分）
（Ⅱ）由题意可知，|CA|=|CB|=1，且∠ACB=90°，
∴圆心C到直线x+y+m=0的距离为

2

2

，即

|1+1+m|

12+12

=

2

2

，
解得m=-1或m=-3．…（8分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．