Question

【题目】如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（I）由BF⊥平面ACE，可得，再由二面角D—AB—E是直二面角，可得平面平面，结合，可得，进而可证明AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，然后利用空间向量法可求出二面角B—AC—E.

（I）平面，

二面角D—AB—E是直二面角，∴平面平面，

又，∴平面，，

又平面，∴AE⊥平面BCE.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，

过O点平行于AD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.

面BCE，BE平面BCE，，

在中，，O为AB的中点，

，

，设平面AEC的一个法向量为，

则即，解得，

令得是平面AEC的一个法向量，

又平面BAC的一个法向量为，

，

∴二面角B—AC—E的余弦值为.