Question

已知菱形ABCD的边长4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一 点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：以菱形ABCD的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均不小于1．因此算出菱形ABCD的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率．

解答： 解：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示．
在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部或在圆上时，
满足点P到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域
∵S_菱形ABCD=AB•BCsin30°=4×4×

1

2

=8，
∴S_阴影=S_菱形ABCD-S_空白=8-π×1²=8-π．
因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P=

S阴影

SABCD

=

8-π

8

=1-

π

8

，
故答案为：1-

π

8

点评：本题给出菱形ABCD，求在菱形内部取点，使该点到各个顶点的距离均不小于1的概率．着重考查了菱形的面积公式、圆的面积公式和几何概型计算公式等知识．