Question

（本小题满分14分）已知函数．

（1）求的单调区间与极大值；

（2）任取两个不等的正数，且，若存在使成立，求证：；

（3）已知数列满足，（n∈N+），求证：（为自然对数的底数）．

 

Answer 1

（1）g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），g（x）的极大值是g（0）=0；（2）证明见解析；

（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）求函数的极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验在的根左右两侧的符号，如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；（3）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式．

试题解析：【解析】
（1）由已知有=，

于是．

故当x∈（-1，0）时，>0；当x∈（0，+∞）时，<0．

所以g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），

g（x）的极大值是g（0）=0． 4分

（2）因为，所以=，于是

==

==，

令=t （t>1），，

因为，只需证明．

令，则，

∴ 在递减，所以，

于是h（t）<0，即，故．

仿此可证，故． 10分

（3）因为，，所以单调递增，≥1．

于是，

所以．（*）

由（1）知当x>0时，<x．

所以（*）式变为．

即（k∈N，k≥2），

令k=2，3， ， n，这n-1个式子相加得

=

=

，

即，所以． 14分

考点：1、利用导数求函数的单调区间和极值；2、证明不等式．