Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{4}$，a_n+1-a_n=2n+1，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=$\frac{4n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 a_n+1-a_n=2n+1，可得n≥2时，a_n-a_n-1=2n-1．利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，可得a_n．$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}-1}$=$2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n=2n+1，∴n≥2时，a_n-a_n-1=2n-1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（2n-1）+（2n-3）+…+（2×2-1）+$\frac{3}{4}$
=$\frac{（n-1）（2n-1+3）}{2}$+$\frac{3}{4}$=n²-$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}-1}$=$2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=2$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{4n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{4n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、累加求和与裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．