Question

【题目】已知椭圆C： ，点P，过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点.

（Ⅰ ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ ）求证：以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：

（Ⅰ ）由椭圆标准方程知，可计算出，得离心率；

（Ⅱ ）只要证明关于轴对称，即，为此，当直线l斜率存在时，设直线的方程： ， ， ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后得的一元二次方程，从而可得，然后计算可得，同时验证一下斜率不存在时，也满足．

试题解析：

解：（Ⅰ）由椭圆C： 得：

， ，

所以， 椭圆C的离心率为

（Ⅱ）因为，所以点F（1,0），

当直线l斜率不存在时，直线l的方程： ，A，B两点关于x轴对称，

点P（4,0）在x轴上，所以直线PA与直线PB关于x轴对称，

所以， 点O到直线PA与直线的距离PB相等，

所以，以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切

当直线l斜率存在时，设直线l的方程： ， ，

由得：

，

，

所以， ，于是点O到直线PA与直线的距离PB相等，

故以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切

（也可以用点O到直线PA与直线的距离PB的距离相等来证明）