Question

如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．

(1)若OM＝，求PM的长；

(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

Answer 1

解　(1)在△OMP中，∠P＝45°，OM＝，OP＝2.

由余弦定理得，OM²＝OP²＋PM²－2×OP×PM×cos45°，

得PM²－4PM＋3＝0，解得PM＝1或PM＝3.

(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，

在△OMP中，由正弦定理，得＝，

故S_△OMN＝×OM×ON×sin∠MON

因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积最小，其最小值为8－4.